牟合方蓋
 

  球體體積是求積法其中一項須要研究的題目。在二千多年前,希臘數學家阿基米德Archimedes)經已發現球體體積的公式,而且採用的方法更是使用了積分的概念。在中國則要到南北朝時代才正確地求出球體的體積,而使用的方法稱為「牟合方蓋」。

  中國的數學典籍《九章算術》的「少廣」章的廿三及廿四兩問中有所謂「開立圓術」,「立圓」的意思是「球體」,古稱「丸」,而「開立圓術」即求已知體積的球體的直徑的方法。其中廿四問為:

  「又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾何?

  開立圓術曰:置積尺數,以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即丸徑。」

從中可知,在《九章算術》內由球體體積求球體直徑,是把球體體積先乘16再除以9,然後再把得數開立方根求出,換言之

球體體積=(9 x 直徑3)/16

以現代的理解,這公式當然是錯的,但以古時而言也不失為一個簡單的公式來求出近似值。

劉徽

  當然這個結果對數學家而言是極之不滿的,其中為《九章算術》作注的古代中國數學家劉徽便對這公式有所懷疑:

  「以周三徑一為圓率,則圓冪傷少;令圓囷為方率,則丸積傷多。互相通補,是以九與十六之率,偶與實相近,而丸猶傷多耳。

即是說,用π≒3來計算圓面積時,則較實際面積要少;若按π:4的比率來計算球和外切直圓柱的體積時,則球的體積又較實際多了一些。然而可以互相通補,但按9:16的比率來計算球和外切立方體體積時,則球的體積較實際多一些。因此,劉徽創造了一個獨特的立體幾何圖形,而希望用這個圖形以求出球體體積公式,稱之為「牟合方蓋」。

   
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參考書目:
1. 李儼、杜石然著,《中國古代數學簡史》,九章出版社,台灣,1992。
2. 李繼閔著,《〈九章算術〉及其劉徽注研究》,九章出版社,台灣,1992。
3. 潘有發著,《趣味歌詞古體算題選》,九章出版社,台灣,1995。