幾何原本
 
《幾何原本》第V卷
定義
1. 當一個較小量能量盡一個較大量時,我們把較小量叫做較大量的部分。
2. 當一個較大量能被較小量量盡時,我們把較大量叫做較小量的倍量。
3. 兩個同類量之間的一種大小關係叫做比。
4. 當一個量幾倍以後能大於另外一個量,則說兩個量有一個比。
5. 有四個量,第一量比第二量與第三量比第四量叫做有相同比,如果對第一與第三個量取任何同倍數,又對第二與第四量取任何同倍數,而第一與第二倍量之間依次有大於、等於或小於的關係第三與第四倍量之間相應的關係。
6. 有相同比的四個量叫做成比例的量。
7. 在四個量之間,第一,三兩個量取相同的倍數,又第二,四兩個量取另一相同的倍數,若第一個的倍量大於第二個的倍量,但是第三個的倍量不大於第四個的倍量時。則說第一個與第二量的比大於第三量與第四量的比。
8. 一個比例至少要有三項。
9. 當三個量成比例時,則說第一量與第三量的比是第一量與第二量的二次比。
10. 當四個量成(連)比例時,第一量對第四量的比叫做第一量對第二量的三次比。不論有幾個量成連比都依次類推。
11. 在成比例的四個量中,將前項與前項且後項與後項叫做對應量。
12. 更比是前項比前項且後項比後項。
13. 逆比是後項作前項,前項作後項。
14. 合比是前項與後項的和比後項。
15. 分比是前項與後項的差比後項。
16. 換比是前項比前項與後項的差。
17. 首末比指的是,有一些量又有一些與心們個數相等的量,若在各組每取二量作成相同的比例,則第一組量中首量比末量如同第二組中首量比末量。
18. 調動比例是這樣的,有三個量,又有另外與它們個數相等的三個量,在第一組量堳e項比後項等於第二組量堳e項比後項,這時,第一組量堛澈廑竣騍臚T項如同第二組量堬臚T項比前項。

命題
1. 如果有任意多個量,分別是同樣多個量的同倍量。則無論這個倍數是多少,前者的和也是後者的和的同倍量。
2. 如果第一量是第二量的倍量,第三量是第四量的倍量,倍量相等;又第五量是第二量的倍量,第六量是第四量的倍量,其倍數相等。則第一量與第五量的和是第二量的倍量,第三量與第六量的和是第四量的倍量,其倍數相等。
3. 如果第一量是第二量的倍量,第三量是第四量的倍量,其倍數相等;如果再有同倍數的第一量及第三量。則同倍後的這兩個量分別是第二量及第四量的倍量,並且這兩個倍數是相等的。
4. 如果第一量比第二量與第三量比第四量有相同的比,取第一量與第三量的任意同倍量,又取第二量與第四量的任意同倍量。則按順序它們仍有相同的比。
5. 如果一個量是另一個量的倍量,而且第一個量減去的部分是第二個量減去的部分的倍量,其倍數相等。則剩餘部分是剩餘部分的倍量,整體是整個的倍量,其倍數相等。
6. 如果兩個量是另外兩個量的同倍量,而且由前二量中淢去後兩個量的任何同倍量。則剩餘的兩個量或者與後兩個量相等,或者是它們的同倍量。
7. 相等的量比同一個量,其比相同;同一量比相等的量,其比相同。
8. 有不相等的二量與同一量相比,較大的量比這個量大於較小的量比這個量;反之,這個量比較小的量大於這個量比較大的量。
9. 幾個量與同一量的比相同,則這些量彼此相等;且同一量與幾個量的比相同。則這些量相等。
10. 一些量比同一量,比大者,該量也大;且同一量比些量,比大者,該量較小。
11. 凡與同一個比相同的比,它們也彼此相同。
12. 如果有任意個量成比例,則其中一個前項比後項如同所有前項的和比所有後項的和。
13. 如果第一量比第二量與第三量比第四量有相同的比,又第三量與第四量的比大於第五量與第六量的比。則第一量與第二量的比也大於第五量與第六量的比。
14. 如果第一量比第二量與第三量比第四量有相同的比,且第一量大於第三量,則第二量也大於第四量;如果前二量相等,則後二量也相等,如果第一量小於第三量,則第二量也小於第四量。
15. 部分與部分的比按相應的順序與它們同倍量的比相同。
16. 如果四個量成比例,則它們的更比例也成立。
17. 如果幾個量成合比例,則它們也成分比例。
18. 如果幾個量成分比例,則它們也成合比例。
19. 如果整體比整體如同減去的部分比減去的部分。則剩餘部分比剩餘部分如同整體比整體。
20. 如果有三個量,又有個數與它們相等的三個量,在各組中每取兩個量都有相同的比,如果首末項第一量大於第三量,則第四量也大於第六量;如果前二者相等,後二者也相等;如果第一量小於第三量,則第四量也小於第六量。
21. 如果有三個量,又有個數與它們相同的三個量,在各組中每取兩個量都有相同的比,而且它們是調動比。那麼,如果,第一量大於第三量,則第四量也大於第六量;如果前二者相等,則後二者也相等;如果第一量小於第三量,則第四量也小於第六量。
22. 如果有任意個量,又有個數與它們相等的一些量,各組中每取兩個量都有相同的比。則它們成首末比。
23. 如果有三個量,又有與它們個數相等的三個量,在各組中每取兩個量都有相同的比,它們組成調動比例,則它們也成首末比。
24. 如果第一量比第二量與第三量比第四量有相同的比,且第五量比第二量與第六量比第四量有相同的比。則第一量與第五量的和比第二量,第三量與第六量的和比第四量有相同的比。
25. 如果四個量成比例,則最大量與最小量和大於其餘兩個量的和。


參考:《幾何原本》《幾何原本》內容簡介

以上資料摘自:
1. 藍紀正、朱恩寬譯,《歐幾里得幾何原本》,九章出版社,台灣,1992。